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Archive for the ‘Inv. Operativa II’ Category

I. PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

INTRODUCCION:

El problema con la programación lineal entera, es que no existe un algoritmo rápido para hallar la solución. El método más frecuentemente utilizado, se llama el de ramificar y acotar y es una adaptación de la solución continua. Este algoritmo toma la solución del programa continuo y la divide en dos problemas si ésta no fue entera (si lo hubiera sido ya habríamos terminado, pero eso sólo sucede en las películas), cada uno con una restricción de más.  Por   ejemplo, si la solución continua fue X1 = 7.25, se dividiría en dos problemas, uno con la restricción X1<=7 y el otro con la restricción X1 >= 7 . Se encuentran las soluciones, para estos problemas y se comparan, le mejor gana; si no es entera se repite el proceso de nuevo. Como se puede ver, éste método consume muchos más recursos de máquina; en un problema de Planeación Agregada, con unas cien variables y unas sesenta restricciones, y algo de  mala suerte, se podrían estar resolviendo unos cuantos miles de problemas continuos asociados, y cada uno de estos podría consumir bastante tiempo. Tal vez con los nuevos estudios en métodos de punto interior, como el de Karmakar, se pueda derivar un método mucho más eficiente que el de ramificar y acotar.

A propósito, Solver utiliza ramificar y acotar para la programación lineal entera.

Resolver:

Max Z = 3 X1 + 4X2
4 X1 + 2X2  <=  8
2X1   + 5X2  <=  10

X1, X2 enteros positivos.

Lo modelamos de igual manera que el ejemplo continuo, y en las restricciones especificamos que X1 y X2 son enteros. No es más.

Y en las restricciones…

Para los programas Lineales enteros es muy importante que Solver, esté debidamente configurado para un número suficiente de iteraciones, de tiempo,  de precisión y de convergencia, para esto ver los detalles de Solver.

EJEMPLO  DE RAMIFICACIÓN Y ACOTACIÓN

A través d e un ejemplo de Programación Lineal entera mixta  aplicada a la Planeación Agregada se utilizara el siguiente  modelo matemático para explicar el algoritmo de Ramificar y Acotar:

Min Z = 800T1 +800T2 + 800T3+800T4+800T5+800T6 (el total de salarios en tiempo normal)

+200C1 +200C2+200C3+200C4+200C5+200C6 (el costo de contratar C empleados por mes)

+500D1 +500D2+500D3 +500D4 +500D5 +500D6 (el costo de despedir D empleados por mes)

+0.06i1 +0.06i2 +0.06i3 + 0.06i4 + 0.06i5+0.06i6 (costo de llevar inventario cada mes)

+7.5H1 +7.5H2 +7.5H3+7.5H4+7.5H5 +7.5H6 (costo de utilizar H horas extras en el mes)

Sujeto a:

T1          – C1 +D1 = 70
T2 – T1  -C2  +D2 = 0
T3 – T2  -C3  +D3 = 0
T4 – T3  -C4  +D4 = 0
T5 – T4  -C5  +D5 = 0
T6 – T5  -C6  +D6 = 0

I1 –  100T1  –  0.625 H1           =  1.000
I1 + 100T2  + 0.625 H2 – I2   = 10.000
I2 + 100T3  + 0.625 H3 – I3   = 12.000
I3 + 100T4  + 0.625 H4 – I4   =    8.000
I4 + 100T5  + 0.625 H5 – I5   =    6.000
I5 + 100T6  + 0.625 H6 – I6   =    5.000

H1 – 32T1 <= 0
H2 – 32T2 <= 0
H3 – 32T3 <= 0
H4 – 32T4 <= 0
H5 – 32T5 <= 0
H6 – 32T6 <= 0

En el contexto de este modelo las variables T representan el número de trabajadores que se deben tener en cada periodo (T1 en enero, T2 en febrero, …), por lo tanto estas variables deben ser enteras.

Árbol de Solución:

Los números dentro de los círculos significan el orden de los pasos a seguir:

1. Resolver el problema Original Continuo. Z nos dio 332 620 pero las cuatro primeras variables nos dieron no enteras. Entonces toca ramificar por cualquiera de ellas… para no pensar mucho, escojamos siempre la primera de izquierda a derecha. En este caso ramificamos por T1 cuya respuesta original fue de 72.5 así es que resolveremos dos subproblemas, en uno le agregaremos a las restricciones que ya tiene la restricción T1<=72 y al otro la restricción T1 >= 73.  Podemos escoger cualquiera de las dos ramas para comenzar a solucionar y seguir… de nuevo para no pensar mucho, escojamos siempre la rama de la izquierda (no importa cuál se escoja, aunque el no de iteraciones es diferente según la rama, no hay forma de saber cuál es la más rápida, así es que aquí la escogimos por capricho esa).  Escogiendo la rama de la izquierda se solucionará el problema agregándole la restricción T1<=72 y se sigue en el paso 2.

2. Se solucionó el problema con Z =332 730 pero de la segunda a la cuarta variable no son enteras. Así es que debemos de nuevo ramificar… dijimos que escogeríamos primero la primera variable no entera de la izquierda a la derecha, en este caso T2. Si ramificamos por T2 resolveremos dos problemas uno con la restricción T2 <= 72 (rama izquierda) y el otro T2 >= 73 (rama derecha). Resolver rama izquierda

3. Resulta la rama izquierda Z = 332 958 y todas las variables enteras. Como todas las variables nos dieron enteras ya no se sigue ramificando por esa rama, es decir se agota esa rama, y como es la primera solución entera que hemos encontrado esta solución es la que va ganando con Z = 332 958 (anotamos en un papelito el valor de Z para que no se nos olvide). De ahora en adelante, cualquier rama que de un Z mayor que 332 958 no la seguimos ramificando, no nos interesaría por que como estamos minimizando no nos interesan valores más grandes del que ya obtuvimos. Claro que si llegamos a una solución entera más pequeña que esta, no nos dará ningún remordimiento olvidarla por completo y llevar esa como mejor. Como esta rama se agota pasemos a lo otra rama de T2>=73.

4. Se resuelve el problema con las restricciones que había en el paso 2  agregándole la restricción T2>= 73. Ojo! No las restricciones que habían en el paso 3, como la rama nace del paso 2 se tomarán esas más la de T2>= 73. Okay, al resolver da Z = 332 952 y todas las variables enteras. Como el Z es menor que el que teníamos como mejor de 332 958 nos olvidamos de ese otro y ahora tendremos como mejor el de 332 952 con T1=71, T2=73, T3=73, T4=73,T5=60,T6=50. Agotada toda la rama izquierda del problema original resolvemos la rama derecha agregándole la restricción T1>=73.

5. Se resolvió con Z = 332 976 y las variables de la 2 a la 4 dieron no enteras, pero no importa, no seguiremos ramificando por que el Z que dio es mayor que el que ya tenemos de 332 952.

Finalmente:

Después de 5 iteraciones se encontró el óptimo con Z = 332 952 y T1=71, T2=73, T3=73, T4=73,T5=60,T6=50.

Este es un ejemplo minimizando. Para Maximizar lo único que cambia es que ya no se prefieren las Z más pequeñas sino las más grandes.

II.    TEORÍA DE DECISIONES

1.  INTRODUCCIÓN:

La mayoría de las decisiones administrativas complejas se toman bajo incertidumbre. Los gerentes autorizan inversiones sustanciales de capital con un conocimiento que no es completo acerca de la demanda del producto.Los funcionarios gubernamentales toman decisiones importantes acerca del medio ambiente que afectara nuestras vidas por muchos años, sin embargo ellos no tienen disponible un conocimiento preciso sobre el futuro…….

2.  FASES EN EL ENFOQUE DE LA TEORÍA DE DECISIONES.

El enfoque de la teoría de decisiones generalmente involucra 3 fases; presentaremos estos mediante el ejemplo de un fabricante de CDs y tarjetas de video que está considerando varios métodos alternativos de expandir su producción para adecuar una demanda creciente para sus productos.

Fase I.- La primera acción que debe considerar el que va a tomar las decisiones es listar todas las alternativas viables que se deben contemplar en la decisión.

Ejemplo:

  1. Expandir la Planta.
  2. Construir Planta Nueva.
  3. Encargar la Producción de CDs y tarjetas de videos a una empresa subcontratista.

Fase II.- Habiendo identificado todas las alternativas viables, el tomador de decisiones debe ahora listar los eventos futuros que pueden ocurrir.

Generalmente los que toman decisiones están en condiciones de identificar la mayoría de los eventos futuros que pueden ocurrir; la dificultad está en identificar que evento en particular ocurrirá. Estos eventos futuros (que no están bajo el control del que toma la decisión) se llaman estados de la naturaleza en la literatura de la teoría de decisiones. En este listado incluimos todo lo que puede suceder; también suponemos que los estados de la naturaleza se definen de tal modo que solo uno de ellos puede ocurrir, en el caso de nuestro fabricante de cintas y discos la mayor incertidumbre se asigna a la demanda futura del producto.

  1. Demanda Alta (total aceptación del producto en el mercado).
  2. Demanda Moderada (aceptación moderada o regular del producto en el mercado).
  3. Demanda Baja (Escasa aceptación del producto en el mercado).
  4. Falle (que no existe demanda de productos).

Fase III.- El tomador de decisiones construye ahora una tabla de beneficios.

Una tabla que muestra los beneficios (expresado en utilidades o en cualquier otra medida que sea apropiada a la situación), que resultaría de cada posible combinación de alternativas de decisión y estados de la naturaleza. La tabla siguiente ilustra los 12 beneficios posibles en la decisión de expansión de la compañía de CDs y tarjetas de videos

Tabla de Beneficios para la Expansión de la Compañía de CDs y tarjetas

Alternativas del Tomador de Decisiones Estados de la Naturaleza (demanda)
Alta Mediana Baja Falla
Expandir 500000 250000 -250000 -450000
Construir 700000 300000 -400000 -800000
subcontratar 300000 150000 -100000 -100000

3. DIFERENTES AMBIENTES EN QUE SE TOMAN LAS          DECISIONES:

Los que toman las decisiones deben funcionar en 3 tipos de ambientes. En cada uno de estos ambientes el conocimiento sobre los estados de la naturaleza es distinto.

4.  DISPONIBILIDAD DE INFORMACIÓN PERFECTA:

Disponibilidad de Información Perfecta             Decisiones Bajo Certidumbre o Certeza.

Sea (Xj) Problema de Mezcla de Productos:

Puede suponerse que el beneficio por unidad de un j – ésimo producto es Cj, el cual es un valor real fijo. Si Xj es la variable de decisión que representa el nivel de producción para el producto j, la contribución al beneficio total del producto j – ésimo es Cj . Xj el cual de nuevo, es un valor fijo para un valor dado de Xj.

5. LA DISPONIBILIDAD DE INFORMACIÓN IMPERFECTA

Sobre un problema nos presenta 2 categorías de casos en la toma de decisiones.

5.1 Decisiones con Riesgo: El grado de ignorancia se expresa como una función  de densidad de probabilidad que representa los datos.

Cj: Variable aleatoria.

FD: f (Cj)

  • Determinar más de un estado de la naturaleza (Debe Suponer)
  • Determinar la probabilidad de ocurrencia.
  • Cuando hablamos de decisiones de riesgo nos referimos a la clase de problemas de decisión para los cuales hay más de un estado de la naturaleza y para los que tenemos la suposición de que el que toma la suposición pueda estimar la probabilidad con que ocurrirá todo estado de la naturaleza.

EJEMPLO: Supóngase que hay m > 1 estados de la naturaleza y sea pj la probabilidad de que ocurra el estado “j”, podemos entonces usar la siguiente ecuación para calcular UEi, que es el rendimiento esperado cuando tomamos la decisión “i”.

Σ rij Pj = ri1 P1 + ri2 P2 + … + rim Pm

Donde:

Pj es probable ocurrencia.

rij es probable retribución.

En este tipo de problemas el administrador debe entonces tomar la decisión que maximice el rendimiento esperado, dicho de otra manera, hallar la decisión óptima, es decir que UEi = máxima sobre todo “i” de UEi

Es decir:

UEi = Max sobre todo i de UEi

CASO DE ESTUDIO:

EL PROBLEMA DEL VENDEDOR DE PERIÓDICOS

El problema que afronta Cesar y su personal es un clásico de la ciencia de la administración conocido como el problema del vendedor de periódicos. En este el vendedor de periódicos compra “Q” periódicos del camión de repartos al comenzar el día. Los vende en el transcurso de la mañana. No conoce por anticipado cuantos venderá. Al final del día, los periódicos carecen de valor. Si compra más de los que vende, pierde el dinero correspondiente a los periódicos que le hayan sobrado. Si no compra suficientes pierde las utilidades potenciales de las ventas adicionales.

Supóngase que paga “C” $ por cada periódico y los vende en “S” $ cada uno.

Sea:

C = $ 0.10

S = $ 0.25

COMPONENTES DEL PROBLEMA DEL VENDEDOR DE PERIÓDICOS:

1.-El costo de mantener inventario h, es el precio por unidad para el vendedor de periódico por cada periódico que le sobra.

    h = C = $ 0.10

     

    2.-El costo de Penalización P, es la ganancia que el vendedor pierde en cada periódico que puede haber vendido, pero no lo hizo porque se agotaron

    P = S – C

    P = 0.25 – 0.10

    P = 0.15

     

     

     

     

    3.-La distribución de probabilidad de la demanda:

    • Supóngase que en este caso del Vendedor de Periódicos, emplea una distribución uniforme (por simplicitud) en particular, el piensa que es igualmente probable cualquier demanda entre 1 y 100. por lo tanto:

      Prob. {Demanda = 1} = 1/100

      Prob. {Demanda = 23} = 1/100

      Generalmente: {D = Cualquier entero de 1 a 100} = 1/100

      Por lo tanto: Prob. {Demanda <= 5} = 5/100     = 0.05

      Prob. {Demanda <= 23} = 23/100 = 0.23

      Generalizando:

      = 0 Siendo X <= 0

      Pro. {D <= X}           = X/100 Siendo X = 1,2,..,100

      = 1 Siendo X >= 100

      Recuerde que el Vendedor de Periódicos puede comprar a $0.10 c/u y venderlos a $0.25. Sin embargo la demanda no se conoce con certeza. El supone que es igualmente probable cualquier demanda entre 1 y 100. En concreto sea el estado “j” el evento de que la demanda sea “j” artículos; el supone que para cualquier entero “j” tal que “j” esté comprendido entre 1 y 100, la probabilidad en “j” es = 0.01. Para fines académicos supóngase que el esperaba la siguiente distribución de probabilidad de la demanda:

      P0 = Prob. {D = 0} = 1/10

      P1 = Prob. {D = 1} = 3/10

      P2 = Prob. {D = 2} = 4/10                Estados de la Naturaleza Distintos.

      P3 = Prob. {D = 3} = 2/10

      Entonces la decisión es el número de periódico por ordenar. Los rendimientos o retribución se muestran a continuación.

      Retribuciones para el Problema del Vendedor de Periódicos

      Decisión Estado de la Naturaleza (Demanda)
      0 1 2 3
      0 0 0 0 0
      1 -10 15 15 15
      2 -20 5 30 30
      3 -30 -5 20 45

      UEi para i = 0, 1, 2, 3

      UE0 = 0(1/10) + 0 (3/10) + (4/10) + 0 (2/10) = 0

      UE1 = -10(1/10) + 15(3/10) + 15(4/10) + 15(2/10) = 12.5

      UE2 = -20(1/10) + 5(3/10) + 30(4/10) + 30(2/10 = 17.5 UTILIDAD MAXIMA

      UE3 = -30(1/10) – 5(3/10) + 20(4/10) + 45(2/10) = 12.5

      Ø  LA DECISIÓN OPTIMA ES COMPRAR 2 PERIÓDICOS.

      5.1.1 EL CRITERIO DEL VALOR ESPERADO: Este criterio requiere que el tomador de decisiones calcule el valor esperado para cada alternativa, donde los pesos son los valores de probabilidad asignados por el tomador de decisiones a los estados de la naturaleza que pueden presentarse.

      CASO DE ESTUDIO: VENTA DE FRESAS POR BETH PERRY  (BP)

      BP compra fresas a $3 la caja y las vende a $8 la caja. Este margen alto refleja lo perecedero del artículo y el gran riesgo de almacenarlo; el producto no tiene ningún valor después del primer día en que se ofrece a la venta. BP se enfrenta al problema de cuanto ordenar hoy para los negocios de mañana. Una observación de ventas pasadas por 90 días nos da la información mostrada a continuación:

      Ventas históricas diarias   de fresas (en cajas)

      Ventas Diarias (Caja) N° de Días con esta Venta Probabilidad que se venda cada Número
      10 18 0.20
      11 36 0.40
      12 27 0.30
      13 9 0.10
      Total 90 1.00

      Esta distribución es discreta y aleatoria. Solo hay cuatro valores posibles para el volumen de ventas y no hay patrón discernible en la secuencia en que ocurran estos 4 valores. Si suponemos que BP no tenga argumentos para creer que el volumen de ventas se compartirá en forma diferente en el futuro, su problema es determinar cuantas cajas debe comprar hoy para el negocio de mañana. Si mañana los clientes solicitan más cajas de las que hay almacenadas, las utilidades de BP disminuyen en $5 (precio de venta – precio de costo), por cada venta que no pueda hacer. Por otra parte hay costos que resultan de almacenar demasiados artículos en cualquier día. Suponga que un día dado BP tiene 13 cajas, pero solo vende 10. tiene una utilidad de $50, $5 por caja en 10 cajas, pero esto debe reducirse por $9, el costo de 3 cajas no vendidas y sin valor.

      (I)  CÁLCULO DE LAS UTILIDADES CONDICIONALES:

      Para ilustrar el problema de BP, se construye una tabla que muestra los resultados en dinero de todas las posibles combinaciones de compras y ventas. Los únicos valores de compras y ventas que tienen significado para nosotros son: 10, 11, 12, 13 (cajas). No hay motivo para que ella considere comprar menos de 10 y más de 13 cajas.

      La tabla siguiente llamada tabla de Utilidades Condicionales muestra la utilidad resultante de cualquier combinación posible de oferta y demanda. Las utilidades pueden ser positivas o negativas y son condicionales en el sentido de que una utilidad dada resulta de una acción de almacenamiento específico (ordenar 10, 11, 12, ó 13 cajas). La tabla refleja las pérdidas que ocurren cuando el inventario no se ha vendido al final del día. No refleja utilidades no realizadas por BP a causa de su incapacidad de satisfacer la solicitud de un comprador, esto es, a causa de una condición de falta de inventario.

      Tabla de Utilidades Condicionales (De Rendimientos)

      Demanda Posible (Ventas) Cajas Acciones de Almacenamiento Posibles
      10 Cajas 11 Cajas 12 Cajas 13 Cajas
      10 50 47 44 41
      11 50 55 52 49
      12 50 55 60 57
      13 50 55 60 65

      Esta tabla de utilidades condicionales no le dice a BP el número de cajas que debe almacenar cada día para maximizar sus utilidades. Solo le muestra cuál será el resultado si un número específico de cajas se almacena y un número específico de cajas se vende. Bajo condiciones de riesgo. Ella no sabe por anticipado el tamaño de la demanda de un día dado, pero aún así debe decidir que número de cajas almacenar constantemente, maximizarán las utilidades sobre un periódico dado.

      (II)  DETERMINACIÓN DE LA UTILIDAD ESPERADA

      UEi = 10, 11, 12, 13

      UE10 = 50(0.20) + 50(0.40) + 50(0.30) + 50(0.10) = $50

      UE11 = 47(0.20) + 55(0.40) + 55(0.30) + 55(0.10) = $53.40

      UE12 = 44(0.20) + 52(0.40) + 60(0.30) + 60(0.10) = $53.60  UTILIDAD MAXIMA

      UE13 = 41(0.20) + 49(0.40) + 57(0.30) + 65(0.10) = $51.40

      Ø  LA DECISION OPTIMA ES COMPRAR 12 CAJAS

      5.1.2 OTRO ENFOQUE PARA RESOLVER ESTE PROBLEMA:

      Minimización de Pérdidas.-  existen dos tipos de pérdidas.

      • Pérdidas con Obsolescencia (Sobre Stock)
      • Pérdidas por Oportunidad (Falta Inventarios)

      Tabla de Pérdidas Condicionales

      Demanda Posible (Ventas) Cajas Acciones de Almacenamiento Posibles
      10 Cajas 11 Cajas 12 Cajas 13 Cajas
      10 0 3 6 9
      11 5 0 3 6
      12 10 5 0 3
      13 15 10 5 0

      Cálculo de Pérdidas Esperadas:

      PEi = 10, 11, 12, 13

      PE10 = 0(0.20) + 5(0.40) + 10(0.30) + 15(0.10) = $6.5

      PE11 = 3(0.20) + 0(0.40) + 5(0.30) + 10(0.10) = $3.10

      PE12 = 6(0.20) + 3(0.40) + 0(0.30) + 5(0.10) = $2.90  MINIMO COSTO

      PE13 = 9(0.20) + 6(0.40) + 3(0.30) + 0(0.10) = $5.10

      Ø   LA DECISION OPTIMA ES  COMPRAR 12 CAJAS

      5.1.3 UTILIDADES CONDICIONALES BAJO CERTEZA (INFORMACIÓN PERFECTA)- I.P

      Tabla de utilidades Condicionales

      Demanda Posible (Ventas) Cajas Acciones de Almacenamiento Posibles
      10 Cajas 11 Cajas 12 Cajas 13 Cajas
      10 50
      11 55
      12 60
      13 65

      I. CALCULO DE UTILIDADES ESPERADAS

      UE = 50(0.20) + 55(0.40) + 60(0.30) + 65(0.10) = $56.50

      56.50 – UTILIDAD MAXIMA CON I. P

      53.60    UTILIDAD MAXIMA SIN I .P

      2.90   VALOR MAXIMO DE LA INFORMACION

      5.1.4 ARTÍCULOS QUE TIENEN UN VALOR DE RECUPERACIÓN:

      (VALOR DE SALVAMENTO)

      Si el producto tiene algún valor de recuperación, entonces esta cantidad se debe considerar al calcular las utilidades condicionales por acción de almacenamiento.

      Considere el caso de un producto que se ordena por el detallista y se recibe el día anterior al día de la venta. Cuesta $5 por caja y se vende en $8 por caja, cualquier remanente no vendido al final del día, se puede salir de él al precio de recuperación de $2 por caja. La siguiente tabla nos muestra que las ventas pasadas han variado de 15 a 18 cajas por día. No hay razón para creer que el volumen de ventas tomará cualquier otra magnitud en el futuro.

      Tamaño del Mercado Probabilidad de Tamaño del Mercado
      15 0.10
      16 0.20
      17 0.40
      18 0.30
      66 1.00

      Tabla de Utilidades Condicionales

      Demanda Posible (Ventas) Cajas Acciones de Almacenamiento Posibles
      15 Cajas 16 Cajas 17 Cajas 18 Cajas
      15 45 42 39 36
      16 45 48 45 42
      17 45 48 51 48
      18 45 48 51 54

      UEi = 15, 16, 17, 18

      UE10 = 45(0.10) + 45(0.20) + 45(0.40) + 45(0.30) = $45

      UE11 = 42(0.10) + 48(0.20) + 48(0.40) + 48(0.30) = $47.40

      UE12 = 39(0.10) + 45(0.20) + 51(0.40) + 51(0.30) = $48.60

      UE13 = 36(0.10) + 42(0.20) + 48(0.40) + 54(0.30) = $47.40

      5.1.5 DATOS EXPERIMENTALES EN DECISIONES CON RIESGO

      Probabilidades a Priori                       Experiencia, Datos Históricos

      Experimento (Modificar Prob.)

      Probabilidades a Posteriori

      A priori

      Ejem:   La Probabilidad de tener un lote bueno es de 0.80

      La Probabilidad de tener un lote malo es 0.20

      1. A Posteriori

        Dos Buenos.

      2. Uno Bueno.
      3. Dos Malos.

      Algunas veces es posible realizar un experimento acerca del sistema en estudio y dependiendo de los resultados de dicho experimento, modificar las probabilidades a priori en el sentido de que se puede incluir información importante con respecto al sistema, al calcular las nuevas probabilidades. A estas probabilidades se les conoce como probabilidades a posteriori.

      EJEMPLO: La experiencia en una Empresa Industrial indica que la probabilidad de producción de lotes buenos = 0.95 y la probabilidad de producir un lote malo = 0.05.

      Sea      P(q = q1) = 0.95                     Bueno

      P(q = q2) = 0.05                     Malo

      P(qi)                Probabilidades a Priori

      Probabilidades de Resultado

      1.      Dos Buenas…Z1

      2.      Uno Bueno…Z2

      3.      Dos Malos…Z3

      P (Zj / qi): Probabilidad Condicional.

      P (qi / Zj): Probabilidad a Posteriori.

      Ø  Generalmente:

      Sea:

      q = q1, q2… qn

      z = z1, z2….zn

      P(Zj) = S P(qi, Zj) = S P(Zj / qi) P(qi) Probabilidad a Posteriori

      P(qi / Zj) = P(qi, Zj)/P(Zj) = P(Zj / qi) P(qi)/S P(Zj/qi) P(qi) Probabilidad de Bayes

      Suponga que el % de defectuosos en un lote bueno = 4%

      Suponga que el % de defectuosos en un lote malo = 15%

      Ø  Aplicando Distribución Binomial:

      P(X = k) = (n k) pk qn-k k = 0, 1, 2…n

      P(Z1/q1) = (0.96)2 (0.04) = 0.922

      P(Z2/q1) = (0.96) (0.04) = 0.0768

      P(Z3/q1) = (0.96) (0.04)2 = 0.0016

      P(Z1/q2) = (0.85)2 (0.15)  = 0.7225

      P(Z2/q2) = (0.85) (0.15)   = 0.255

      P(Z3/q2) = (0.85) (0.15)2 = 0.0225

      P(Zj/qi) :

      Z1 Z2 Z3
      q1 0.922 0.0768 0.0016
      q2 0.7225 0.255 0.0225

      Bueno = P(q = q1) = 0.95                       Malo = P(q = q2) = 0.05

      Ø  Hallando las Prob. Conjuntas

      P(qi Zj) = P(Zj / qi) P(qi)

      P(qi, Zj) :

      Z1 Z2 Z3
      q1 0.8759 0.07296 0.00152
      q2 0.036125 0.01275 0.001125

      P(Zj) = S P(Zj / qi) P(qi)

      P(Zj) = S P(qi / Zj)

      P(Z1) =  0.912025

      P(Z2) =  0.08571

      P(Z3) =  0.002645

      P(qi/Zj) = P(qi, Zj) / P(Zj)

      P (qi / Zj) :Prob. a posteriori

      Z1 Z2 Z3
      q1 0.96039 0.85124 0.57467
      q2 0.03961 0.14876 0.42533
      • La probabilidad de sacar dos artículos defectuosos de uno bueno es 0.57467
      • La probabilidad de sacar dos artículos buenos de uno bueno es 0.96039
      • La probabilidad de sacar un artículo bueno de uno malo es 0.85124

      5.2  DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE: No se dispone de ninguna función densidad de probabilidad. No implica ignorancia completa sobre el tema.

      F(Cj): No se conoce o no puede determinarse.

      Se conoce: Cj’, Cj’’; Cj’’’

      1.      Criterio de Laplace.

      2.      Criterio Mínimas.

      3.      Criterio Savage.

      4.      Criterio de Hurwicz.

      Estados de la Naturaleza

      q1 q2 q3
      a1 V(a1, q1) V(a1, q2) V(a1, qn)
      a2 V(a2, q1) V(a2, q2) V(a2, qn)
      am V(am, q1) V(am, q2) V(am, qn)
      • Para el estudio de las decisiones bajo incertidumbre tomamos como base el siguiente tablero (matriz) de posibles acciones y estados de ocurrencia que tendría que tomar el decisor.

      1.CRITERIO DE LAPLACE.- este enfoque interpreta las condiciones de “incertidumbre” como equivalente a supuesto de que todos los estados de la naturaleza tienen la misma probabilidad. El punto de vista de este “Si nada se, entonces todo es igualmente posible” por ejemplo, en el problema del vendedor de periódicos, tenemos la tabla de retribuciones siguiente:

      Decisión Estados de la Naturaleza
      0 0 0 0 0
      1 -10 15 15 15
      2 -20 5 30 30
      3 -30 -5 20 45

      Suponer que todos los estados de la naturaleza tengan la misma probabilidad significa que, dado que son 4, la probabilidad de que ocurran es de 0.25 para c/u. La elección de estas probabilidades convierte al problema en una decisión bajo riesgo y entonces se puede calcular el rendimiento esperado; eligiendo la acción ai que proporciona la ganancia mayor esperada.

      Max ai = 1/n S V(ai, qj)

      Donde 1/n es la probabilidad de que ocurra qj = (0, 1, 2, 3)

      UE0 = 0(1/4) + 0(1/4) + 0(1/4) + 0(1/4) = 0

      UE1 = -10(1/4) + 15(1/4) + 15(1/4) + 15(1/4) = 8.75

      UE2 = -20(1/4) + 5(1/4) + 30(1/4) + 30(1/4) = 11.25 MAXIMA UTILIDAD

      UE3 = -30(1/4) + (-5)(1/4) + 30(1/4) + 45(1/4) = 7.5

      Ø  LA DECISION OPTIMA ES COMPRAR DOS PERIODICOS

      Aunque en algunas situaciones este enfoque de igual probabilidad puede producir resultados aceptables, en otros podría ser inadecuado.

      2. CRITERIO MÍNIMAX (MAXIMÍN).- Este criterio es el más conservador ya que se basa en lograr lo mejor de las peores condiciones posibles. El criterio elige la acción ai asociado a:

      min . max { V(ai, qj)} (Mínimax)

      Donde: V (ai, qj); representa la pérdida para el decisor.

      Ø  No se aplica a una matriz de beneficios o utilidades, sino se aplica para pérdidas y costos.

      En forma análoga si V (ai, qj) representa las ganancias, el criterio elige la acción así asociada a:

      max . min { V(ai, qj)} (Maximin)

      Ejemplo: Considere V(ai, qj) la representación de costo entonces el criterio minimax es aplicable al tablero siguiente:

      q1 q2 q3 q4
      a1 5 10 10 25 25
      a2 8 7 8 23 23
      a3 21 18 12 21 21
      a4 30 22 19 15 30

      3.  CRITERIO DE DEPLORACIÓN DE SAVAGE

      También conocido como Criterio de Deploración Minimax de Savage. El criterio MiniMax es muy conservador a tal punto que puede llevar a conclusiones ilógicas.

      Dado otro ejemplo la matriz de pedidos siguiente (ejemplo clásico)

      V(ai, qj) :

      q1 q2
      a1 11000 90
      a2 10000 10000

      Si aplicamos el criterio MinMax a esta matriz nos da como resultado la opción a2, pero la lógica se inclina por a1. El criterio de Savage rectifica este punto construyendo una matriz de pérdidas en la cual V(ai, qj) se reemplaza por:

      r(ai, qj)            la cual se define como:

      r(ai, qj) =         Max ak {V(ak, qj)} – V(ai, qj)            Si V es beneficio

      V(ai, qj) – Min ak {V(ak, qj)               Si V es costos o pérdidas

      r(ai, qj) es una representación de arrepentimiento del decisor como resultante de perder la mayor solución correspondiente a un estado futuro dado qj.

      La función r(ai, qj) se le conoce como matriz de Deploración.

      Luego mostrando los nuevos elementos r(ai, qj) se tiene lo siguiente:

      r(ai, qj) =

      q1 q2
      a1 1000 0 1000
      a2 0 9910 9910

      Ahora el criterio minimax proporciona a1 como se esperaba.

      Si V(ai, qj) es una función de beneficio o de pérdida, r(ai, qj) es una función de Deploración, la cual en ambos casos representa pérdidas. Por lo tanto únicamente el criterio minimax puede aplicarse a: r(ai, qj)

      4. CRITERIO DE HURWICZ.- Este criterio tiene en consideración un intervalo de actividades desde la más optimista hasta la más pesimista.

      Condición Optimista                         max.max{V(ai, qj)}

      Condición Pesimista                          max.min{V(ai, qj)}

      Suponer que:   V(ai, qj)  Representa beneficio.

      El criterio Hurwicz pondera el optimismo extremo y el pesimismo extremo para los pesos respectivos (a) y (1 – a)

      Donde:  a:  está en el intervalo 0 – 1    :            0 <= a <= 1

      Luego se tiene lo siguiente:

      Si V(ai, qj):  representa beneficio seleccione la acción que proporcione lo siguiente:

      max{a max V(ai, qj) + (1 – a) min V(ai, qj)}

      Para el caso que V(ai, qj) representa un costo, el criterio selecciona la acción que proporciona lo siguiente:

      min{a min V(ai, qj) + (1 – a) max V(ai, qj)}

      El parámetro alfa se le conoce como índice optimista:

      Cuando a = 1 = Criterio demasiado optimista

      a

      Cuando a = 0 = Criterio demasiado pesimista

      Cuando a = ½ sería un criterio razonable.

      Ejemplo: suponer que a = ½ en la matriz de costos siguiente

      V(ai, qj) :

      Matriz de costos

      q1 q2 q3 q4
      a1 5 10 18 25
      a2 8 7 8 23
      a3 21 18 12 21
      a4 30 22 19 15

      Min V(ai, qj)          Max V(ai, qj)              a Min V(ai, qj) + (1 – a) Max V(ai, qj)

      Min ai

      a1        5                                 25                                           15

      a2        7                                 23                                           15

      a3        12                               21                                           16.5

      a4        15                               30                                           22.5

      5.3 ÁRBOLES DE DECISIÓN

      Llamase árboles de decisión a aquellos que contienen tanto las probabilidades de los resultados, como los valores monetarios condicionales de estos resultados de modo que se pueden calcular los valores esperados.

      Valor Esperado

      (i) Probabilidades de Riesgo

      (ii) Valores Monetarios Condicionales del Resultado

      EJEMPLO: Se desea tomar una decisión entre ir al cine o quedarse en casa a ver Tv.

      EJEMPLO: Se desea invertir $1000 ya sea en la compra de acciones o en un depósito de una cuenta de ahorros. Opte por la mayor decisión.

      Supóngase que la cuenta de ahorros nos pagaría un interés del 5% si las acciones suben, se obtendrá  $1400, Si las acciones bajan se obtendrá $ 800

      Ø  RESPUESTA: LA DECISIÓN ES INVERTIR $1000 EN ACCIONES.


      EJEMPLO: Árboles de decisión para un problema de inversión en una planta:

      Stereo Industries LTD.  Debe decidirse si construir una planta grande o pequeña para producir una nueva tornamesa, que se espera tenga una permanencia en el mercado de 10 años.

      Una planta grande costará $2.800.000 en su construcción y puesta en operación, mientras que una planta pequeña costará solo $1.400.000

      El mejor estimado de la compañía da una distribución discreta de las ventas sobre un periodo de 10 años es:

      Demanda alta              = 0.5

      Demanda moderada    = 0.3

      Demanda baja             = 0.2

      El análisis de costo – volumen – utilidad hecho por la gerencia de Stereo Industries LTD. Indica estos resultados condicionales bajo las varias combinaciones de tamaño de planta y tamaño de mercado:

      1.      Una planta grande con una demanda alta producirá utilidades anuales por $1,000.000

      2.      Una planta grande con una demanda moderada producirá utilidades anuales por $600 000

      3.      Una planta grande con una demanda baja producirá pérdidas anuales por $700.000 debido a ineficiencias en la producción.

      4.      Una planta pequeña con una demanda alta solo producirá utilidades anuales  por $250.000 considerando el costo de las ventas perdidas por la inhabilidad de abastecer a los clientes.

      5.      Una planta pequeña con una demanda moderada producirá utilidades anuales de $450.000 porque el costo de las ventas perdidas será algo más bajo.

      6.      Una planta pequeña con una demanda baja producirá utilidades de $550.000 anuales porque el tamaño de la planta y el tamaño del mercado estarían ajustadas casi óptimamente.

      Ø  Se toma la decisión de construir una planta grande con una diferencia de $1,300.000

      $ 3,600.000 –

      $ 2,300.000

      $ 1,300.000

      III. SISTEMAS DE INVENTARIOS

      1.  INTRODUCCIÓN

      • ¿Qué cantidad comprar?
      • ¿Cuándo? Cada que tiempo hacer el pedido

      Ø  SOBREALMACENAMIENTO:

      §  Las frecuencias de pedidos son altas.

      §  El capital invertido por unidad es alto.

      Ventajas:

      §  Bajo costo de escasez de pedidos.

      Desventajas:

      §  Aumento de costo de almacenamiento.

      Ø  SUBALMACENAMIENTO:

      Ventajas:

      §  Baja frecuencia de pedidos.

      §  El capital invertido por unidad es relativamente bajo.

      Desventaja:

      §  Origina costo de escasez.

      Sistema Logístico:(Empresa Industrial)

      2. TÉCNICA ABC.- (TÉCNICA DE WILFREDO PARETO)

      Zona A: El 80% de la inversión total está representada por el 20% del total de artículos

      Zona B: El 15% de la inversión total está representada por el 25% del total de artículos

      Zona C: El 5% de la inversión total está representada por el 55% del total de artículos

      GRÁFICAMENTE:

      EJEMPLO: La siguiente relación muestra el consumo promedio anual de una serie de artículos correspondientes a una serie de construcciones metálicas. Confeccionar un gráfico ABC y recomendar las medidas necesarias para controlar estos stocks de la forma más conveniente posible.

      GRÁFICAMENTE:

      3. MODELO DE INVENTARIO GENERALIZADO

      Ø  Da respuesta a las siguientes preguntas:

      1. ¿Qué cantidad de artículos deben pedirse?
      2. ¿Cuándo debe efectuarse el pedido?

      Ø  Respuestas:

      1. Determinar la cantidad de pedido.
      2. Tipo de Sistema de Inventarios

      Ø  Los sistemas de inventarios pueden ser de 2 tipos:

      a) Sistema de Revisión Periódica con Intervalos de tiempos iguales.- determinar la cantidad a pedirse en el tiempo de manera que coincida con el inicio de cada intervalo de tiempo.

      b) Sistema de Revisión Continua.- determina un punto de pedido en el nivel de inventario.

      Se origina el Costo Total Anual de Inventario(CTAI) :

      CTAI = Costo de Compra + Costo Fijo + Costo de Almacenamiento + Costo de Escasez

      Costo de Compra                              : Precio que se paga por la cantidad a pedirse.

      Costo Fijo                                          : Costo que se incurre cuando hacemos un pedido.

      Costo de Almacenamiento               : Lo que cuesta tener stock el almacén.

      Costo de Escasez    : Cuando no tenemos disponible.


      GRÁFICAMENTE:

      4. COMPLEJIDAD DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS:

      DEMANDA:

      Grado o nivel de complejidad matemática de un Sistema de Inventario

      Determinista

      §  Estática

      §  Dinámica

      Probabilística

      §  Estacionaria

      §  No Estacionaria

      Aunque el tipo de demanda es un factor principal del diseño del modelo de inventario, los factores siguientes pueden influenciar también la forma en que se formula el modelo.

      5. OTROS FACTORES:

      1. Demora en la Entrega: cuando se coloca un pedido, puede entregarse inmediatamente o puede requerir algún tiempo antes de que la entrega se efectúe. El tiempo entre la colocación de un pedido y su sentido se conoce como demora en la entrega. En general las holguras de entrega pueden ser determinadas o probabilísticas.

      2. Reabasto de Almacén: Aunque un sistema de inventarios puede operar con demoras en las entregas, el abastecimiento real del almacén puede ser instantáneo o uniforme. El instantáneo ocurre cuando el almacén compra de fuentes externas. El uniforme puede cuando el producto se fabrica totalmente dentro de la organización. En general un sistema puede operar con demanda positiva y también con reaprovisionamiento uniforme de almacén.

      3. Horizonte de Tiempo: El horizonte define el periodo sobre el cual el nivel de inventarios estará controlado, este horizonte puede ser finito o infinito dependiendo de la naturaleza de la demanda.

      4. Abastecimiento Múltiple: Un sistema de inventarios puede tener varios puntos de almacenamiento. En algunos casos estos puntos de almacenamiento están organizados de tal manera que un punto actúa como una fuente de abastecimiento para algunos otros puntos. Este tipo de operación puede repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de demanda pueda de nuevo llegar a ser un  nuevo punto de abastecimiento. La situación usualmente se denomina sistema de abastecimiento múltiple.

      5. Número de Artículos: un sistema de inventarios puede comprender más de un artículo. Este caso es de interés, principalmente si existe alguna clase de interacción entre los diferentes artículos. Por ejemplo estos pueden competir en espacio o capital total limitados.

      5.1.  MODELOS DETERMINISTAS

      5.1.1  MODELO ESTÁTICO DE UN SOLO ARTÍCULO:
      El tipo más simple de modelo de inventarios ocurre cuando la demanda es constante en el tiempo con reabastecimiento instantáneo y sin escasez.

      Ø  Costo total de inventario CTI(y)

      Parámetros:

      b = Tasa de demanda o consumo.

      K = Costo fijo.

      H = Costo de almacenamiento.

      CTI (y) = K = Costos fijos y costos de almacenamiento por unidad de

      y/b tiempo.

      CTI (y) = K + h (y/2)

      y/b

      Minimizando CTI (y)

      d CTI (y) = d(K/y/b) + d[h (y/2)] = 0

      d CTI (y) = d(Kb/y) + d[h (y/2)] = 0

      d CTI (y) = – Kb/y2 + h/2 =0

      h/2 = Kb/y2

      y* = √ 2Kb/ h Þ Cantidad económica de pedido o modelo de Wilson.

      Fórmula que tiene que ver con el costo óptimo.

      CTI(y*) = √ 2Kbh

      PROBLEMA: La demanda diaria para una mercancía es aproximadamente 100 unidades. Cada vez que se coloca un pedido se origina un costo fijo de $100. el costo diario de mantener el inventario por unidad es de $0.02. si el tiempo de demora es de 12 días, determine el tamaño económico del lote y el punto de reordenación.

      b = 100 u/d

      K = $1000

      h = $0.02

      1) Determinación del lote económico.

      y* = √ 2Kb/ h = √ 2(1000)(100)/0.02

      y* = 1000 unidades

      2) Hallando el ciclo.

      t*0 = y*/ b = 1000u/100u/d

      t*0 = 10 días.    Considerando demora = 12 días

      12 – 10 = 2 días

      2*100 unidades = 200 unidades

      L = 2 días de anticipación.

      RESPUESTA: PEDIR 1000 UNIDADES CUANDO EL NIVEL DE INVENTARIOS LLEGUE A 200 UNIDADES.

      COSTO ÓPTIMO

      CTI (y*) = √ 2Kbh = √ 2(1000)(100)(0.02)

      CTI (y*) = $20 costo óptimo.

      5.1.2 MODELO ESTÁTICO DE MÚLTIPLES ARTÍCULOS CON    LIMITACIONES EN ALMACÉN

      CTU = Costo Fijo  + Costo de Almacenamiento

      CTU = Kb + h (y/2) ————- 1  (Un Artículo)

      y

      CTU (Y1, Y2, Y2, …Yn) = S [ Kibi + hi Yi ]…………..2  (Varios Artículos)

      yi          2

      Si:

      Vi = Volumen de un artículo.

      Yi = Cantidad de Artículos en Inventario.

      Además:

      Q = Volumen Total de Almacenamiento.

      S  Yi Vi <= Q ,  yi > 0

      Min  CTU (Y1, Y2, Y3,…Yn) = S [ Kibi + hi Yi ]

      yi           2

      S a:      S Yi <= Q

      Yi > 0

      1.Método de Lagrange (Multiplicadores de Lagrange (l):

      L(Y1, Y2, Y3,…Yn, l) = S [ Kibi + hiYi ] – l [S Yi Vi – Q]

      yi         2

      Aplicando derivadas para hallar valores Min:

      dL = 0 Þ – Ki bi + hi – l Vi = 0

      dYi                Y2i        2

      hi – l Vi = Ki bi

      2                  Y2i

      Yi =       2 Ki bi

      Ö hi – 2 l Vi

      Y*i =     2 Ki bi Þ  Fórmula  1

      Ö hi – 2 l Vi

      dL = 0 Þ – S Yi Vi – Q = 0  Þ  Fórmula   2

      l < 0

      PROBLEMA: Supóngase una bodega de 25000 m3 de espacio real de almacenamiento de productos agrícolas (maíz, trigo, fríjol).

      Este espacio ya toma una cuenta a lo que se requiere para maniobras de estiba. Las características de estos productos son:

      Demanda de productos agricolas

      Producto Demanda Constante Mensual bi Espacio Ocupado por Tonelada de Grano (Vi) Costo Fijo de Almacén (Ki) Costo de Almacenamiento x Tonelada (hi)
      i = 1 Maíz 2 Tn 1000 m3 $ 10000 $ 300
      i = 2 Fríjol 4 Tn 1000 m3 $ 5000 $ 100
      i = 3 Trigo 3 Tn 1000 m3 $ 15000 $ 200

      ¿Cuál es la Política Óptima del Inventario que minimiza los costos Totales?

      N° de Iteraciones l(l<=) Y*1 Y*2 Y*3 S Yi Vi – Q
      1 0.00 11.2 20.2 21.2 27400
      2 -0.05 10.0 14.1 17.3 16400
      3 -0.10 9.0 11.5 14.9 10400
      4 -0.15 8.2 10.0 13.4 6600
      5 -0.20 7.6 8.9 12.2 3700
      6 -0.25 7.1 8.2 11.3 1600
      7 -0.30 6.7 7.6 10.6 -100

      Valor de l = -0.30 <= l <= -0.25      Se toma –0.30 porque es mucho menor a cero.

      Por lo tanto la empresa debe pedir:

      6.7 Tn de Maíz, 7.6 Tn de Fríjol, 10.6 Tn de Trigo

      El volumen del almacén:

      6.7 x 1000 =   6700

      7.6 x 1000 =   7600

      10.6 x 1000 = 10600

      24900 m3

      5.2  MODELOS PROBABILÍSTICOS

      5.2.1.  MODELO DE LA REVISIÓN CONTINUA:

      Este modelo es un modelo probabilístico en el cual el almacenamiento se realiza continuamente y un pedido de tamaño “y” se coloca cada vez que el nivel de existencias llega a un cierto punto de re orden “R”. El objetivo es determinar los valores óptimos de “y” y de “R” que minimicen los costos esperados de inventario por unidad de tiempo. En este modelo, un año representa una unidad de tiempo.

      Los objetivos del modelo son:

      1. El tiempo de demora entre la colocación de un pedido y se recepción es estático.
      1. La demanda que no se satisface durante el tiempo de demora se deja pendiente para ser satisfecho en periodos posteriores.
      1. La distribución de la demanda durante el tiempo de demora es independiente del tiempo en que ocurre este.

      GRÁFICAMENTE:


      CTAI = Costo Fijo + Costo de Almacenamiento + Costo de Escasez.

      CTA I= Costo Total Anual en función de “y” y “R”

      CTA(y,R) = DK + h (y/2 + R – E {x}) + P D S

      y                                                 y

      x = Demanda (variable)

      y = Cantidad Ordenada x Ciclo.

      D = Demanda Total Esperada x Año.

      h = Costo de Mantenimiento de Inventario.

      K = Costo Fijo.

      P = Costo de Escasez x Unidad x Año.

      S = Cantidad Esperada de Escasez por ciclo (año).

      Inventario Promedio H = y + E(R – X)                              Inventario Inicial

      H = y + E(R – X) + E(R – X) Inventario Final

      2

      H = y/2 + E(R – X)                           Función Continua

      R – R{x}

      S = d S(x) f(x) dx = d (X – R) f(x) dx

      S = Cantidad de Escasez x Ciclo.

      S(x) =0            X <= R

      X – R              X > R

      dCTA (y,R) = 0

      dy

      DK + h PDS =  0   = DK + PDS = h

      y2 2         y2 y2 2

      y* = Ö 2 (DK + PDS) …..  Fórmula N° 1

      h

      dCTA (Y,R) = 0    =  h – (PD/y)  ∫ f(x) dx = 0

      dR

      ∫ f(x) dx = hy* ….        Fórmula N° 2

      PD

      S = Cantidad esperada, escasez = E[S(X)]

      Ø  Cuando S = 0 y R = µ  se convierte en:

      y* = Ö 2DK

      h

      Ø  cuando R = 0

      y* = ŷ  = Ö 2D(K + PE (x)

      h

      Ø  Cuando R = 0

      y* = ŷ  = PD

      h

      Algoritmo de Hadley y  Whitin:

      Si y = ŷ = Existen valore únicos para Y y R

      Si se cumple esta solución se continúa, sino no tiene solución.

      PROBLEMA: Supóngase K = 100, P = 10, h = 2, D = 1000 y la demanda durante un tiempo de entrega es una variable aleatoria con una distribución uniforme dada por:

      f(x) =   1/100; Si  0 <= x <= 100

      0       ; Si  x < 0 ó x > 100

      Paso N° 1:   Verificar si ŷ  >= ŷ

      ŷ = Ö 2D (K + PE(x)

      h

      E(x) = ∫ f(x) dx =  ∫ x/100 dx =  x2/2 0 x2/200 = x2/200

      E(x) = (100)2/200 – 0/200 = 50

      E(x) = 50

      ŷ = Ö 2(1000) (100 + (10) (50))

      2

      ŷ = 774.5 unidades

      Determinando ÿ:

      ÿ = PD/h = (10)(1000)/2 = 5000 unidades

      ÿ >= ŷ , ÿ es mayor e igual a ŷ

      Iteración N° 1:

      y1 = Ö 2DK/h

      y1 = Ö 2(1000)(100)/2 = 316

      R1 = ∫ f(x) dx =  hy1/PD

      ∫  dx/100 =  2(316)/10(1000) = 632/10000

      1/100 [100 – R1] = 0.0632

      R1 = 93.68

      Iteración N° 2:

      y1 = Ö 2D(K + PE[S(x)])/h

      E[S(x)] = ∫ (x – R1) f(x) dx

      ∫ (x – 93.68) (1/100) dx

      E[S(x)] = 0.19971

      y2 = Ö 2(1000) (100 + (10) (0.1971))

      2

      y2 = 319.5 unidades

      hallando R2:

      ∫ f(x) dx =  hy2/PD

      ∫ (1/100) dx =  2(319.5)/10(1000)

      R2 =93.61

      Iteración N° 3

      E[S(x)] = ∫ (x – R2) dx

      ∫ (x – 93.61) (1/100)dx

      E[S(x)] = 0.24016

      y3 = Ö 2(1000) (100 + (10) (0.24016))

      2

      y*3 = 319.8

      R3 = ∫ f(x) dx =  hy2/PD

      ∫ (1/100) dx =  2(319.8)/10(1000)

      R*3=93.604

      | R3 – R2 | = 0

      La cantidad óptima es  y*3 = 319.8

      Re orden óptimo es      R*3 = 93.604

      Y

      T

      5.2.2.  Modelos de un Solo Periodo: Este modelo de inventarios de un solo periodo ocurre cuando un artículo es ordenado una sola vez. Ejemplo: La industria de modas, un modelo determinado de automóvil o también artículos perecederos que tienen una vida corta (vegetales, carne, leche, etc) o artículos que se vuelven obsoletos rápidamente como las computadoras y las copiadoras electrónicas.

      1.  MODELOS DE DEMANDA INSTANTÁNEOS SIN COSTO FIJO: En este modelo se supone que la demanda total se satisface al inicio del periodo. Por lo tanto dependiendo de la cantidad demandada (D), la posición del inventario justamente después que la demanda ocurre, puede ser positiva (excedente o negativa).

      Está representado por la función de probabilidad (función de mantenimiento de inventarios)

      y – D,  si  y > D

      H(y):

      0       , si  y <= D

      0,  si  y > D

      G(y):

      D, si  y <= D

      E {C (y)}= Costo de Compra + Costo de Mtto. de Inventario + Costo de Escasez.

      E {C (y)}= C (y – x) + h ∫ H(y) f(D) dD + P ∫ t(y) f(D) dD

      Minimizando Costos

      d E {C(y)} = E{C(y)} = C(y – x) + h {∫ (y – D) f(D) dD + 0} + P {0 + ∫ (D – y) fD dD}

      dy

      ∫ f(D) dD = P – C

      P + h

      Si P >= C (Definida)

      Si P < C (Descartar el Sistema)

      • El valor de y* se selecciona de tal modo que la probabilidad D <= y* sea igual a:

      q = P – C

      P + h

      , Con P > C

      La política de reordenamiento óptimo dado x antes de que un pedido se coloque es:

      Si  y* > x;  pedir y* – x

      Si y* <= x;  no pedir nada

      • Para el caso discreto se tendrá:

      P (D <= y* – i) <= P – C <= P (D <= y*)

      P + h

      Problema: Considere un artículo que se producirá una sola vez, con una demanda continua de consumo instantáneo, distribuida uniformemente y dada por:

      f(D) =  1/10   0 <= D <= 10

      0        D > 10

      Supóngase que :

      h = $0.5,  P = $4.5,  C = $0.5

      Se pide hallar la política de reordenamiento óptimo.

      Solución:

      P (D <= y*) ∫ f(D) dD = P – C = ∫ 1/10 dD =  4.5 – 0.5 =  y* = 0.8

      P + h                         4.5 + 0.5

      Si x < 8;  Pedir 8 – x

      Si x > 8;  No pedir

      PROBLEMA: Considere un tipo de avioneta que tiene demanda discreta de consumo instantáneo como lo que se describe a continuación, y para lo que el costo unitario de producción es de 2 millones de dólares, el costo unitario de mantenimiento es de 1 millón de dólares y el costo unitario penal (producción extra imprevista) a 4 millones de dólares ¿Qué política óptima de producción de seguirse?

      Demanda de avioneta

      D f(D) f(D) (Acumulado)
      0 0.10 0.10
      1 0.20 0.30
      2 0.20 0.55
      3 0.20 0.75
      4 0.15 0.90
      5 0.10 1.00
      6 o más 0.00 1.00

      h = 1,   P = 4,  C = 2

      P – C/P + h  =  4 – 2/4 + 1  =  2/5 = 0.4

      P{D <= 1} = 0.3 < 0.4 < 0.55 = P{D <= 2}

          • y* = 2 unidades

      2. MODELO DE DEMANDA UNIFORME SIN COSTO FIJO

      Inventario Promedio:

      y = D/2

      Inventario Promedio:

      y2/2D

      Inventario Promedio de Escasez:

      (D – y)2/2D

      Costo Esperado:

      ∫ f(D) dD + y* ∫ f(D)/D dD  =  P – C/P + h = q

      EJEMPLO: Supóngase un producto con demanda aleatoria de consumo uniforme distribuido de la siguiente forma:

      1/10 ;  Si 0 <= D <= 10

      f(D)

      0      ;  Si D < 0 ó D > 10

      h = $0.5,  P = $4.5,  C = $0.5

      ¿Cuál es la política óptima de producción o reorden:

      ∫ 1/10 dD + y* ∫ 1/10D dD  =  4/5  = 0.8

      (1/10) (y* – y* Ln y* + 2.3 y*) = 0.8

      Resolviendo la ecuación por ensayo de error:

      y* = 4.5 unidades

      Si  x < 4.5 = Se ordena un pedido de 4.5 – x.

      Si  x > 4.5 = No se ordena nada.

      3. MODELO DE INVENTARIOS DE DEMANDA INSTANTÁNEA Y COSTO FIJO

      E {C(y)} = k + C (y – x) + h ∫ (y – D) f(D) dD + P ∫ (D – y) f(D) dD

      Gráficamente

      Ø  Se presenta 3 casos:

      Primer Caso:

      Si x < S;  Ordenar S – x

      Segundo Caso:

      S = y*

      Si S <= x <= S

      y* = x

      Tercer Caso:

      Si x > S;  para y > x

      y* = x

      Resumen (Modelo de Inventario s – S)

      Si x <   S;  pedir S – x

      Si x >= S;  no pedir nada

      EJEMPLO: Suponga un artículo de consumo instantáneo, que tiene una producción única y cuyo costo de producción es de k = $25. el costo unitario de mantenimiento es de h = $0.5, el costo unitario penal = P $4.5 y el costo unitario de producción C = “0.5.

      La demanda tiene una distribución dada por:

      f(D)     1/10,  Si 0 <= D <= 10

      0,       Si 10 < D

      Solución:

      1.-  Hallar S:

      ∫ 1/10 dD = 0.8  =  S = 8 Unidades.

      2.- Encontrar el valor de s

      E{C(y)} = 0.5 (y – x) + 0.5 ∫ (y – D) dD + 4.5 ∫ 1/10 (D – y) dD

      E{C(y)} = 0.25 y2 – 4.0 y + 22.5 – 0.5 x

      E{C(s)} = k + E{C(S)}

      E{C(s} = 0.25 S2 – 4.0S + 22.5 – 0.5x = 25 + 0.25S2 – 4.0S + 22.5 – 0.5x

      Reemplazando S = 8

      S2 – 16S – 36 = 0

      S1 = -2                                   S2 = 18       Se elimina porque S2 > S = 18 > 8

      Por definición:            y >= 0

      Entre –2 y 0, nos quedamos con cero y establecemos la siguiente política:

      Si x <= 0;   Ordenar 8 – x

      Si x > 0  ;   No ordenar nada.

      IV. PROYECTOS CON PERT – CPM

      1. CASO DE ESTUDIO: CONSTRUCCION COMPLEJO DEPORTIVO

      Una urbanización está evaluando la construcción de un complejo deportivo de propósitos múltiples. El complejo ofrecerá un gimnasio nuevo para juegos intercolegiales de basketball, oficinas y salones.

      Las actividades que habrá que emprender antes de comenzar la construcción son las que se muestran enseguida.

      Actividad Descripción Predecesores Duración
      A Levantamiento topográfico —– 6
      B Ejecución de diseño —– 8
      C Aprobación del concejo A, B 12
      D Elección del arquitecto C 4
      E Fijación del presupuesto C 6
      F Finalización del diseño D, E 15
      G Obtención del financiamiento E 12
      H Contratación del constructor F, G 8

      a) Desarrolle una red CPM para este proyecto.

      b)
      Identifique la ruta crítica.

      Considere la red de la figura siguiente la cual comienza en el nodo 0 y termina en el nodo 6.

      7

      Consideraciones de Probabilidad en la Programación de Proyectos

      Actividad (i, j) Tiempos Estimados (a, b, m) Actividad (i, j) Tiempos Estimados (a, b, m)
      (0,1) (1; 3; 2) (3, 5) (1; 7; 2.5)
      (0,2) (2, 8 ; 2) (3, 6) (1; 3; 2)
      (1,3) (1; 3; 2) (4, 5) (6; 8; 7)
      (2,3) (1; 11; 1.5) (4, 6) (3; 11; 4)
      (2,4) (0.5; 7.5; 1) (5, 6) (4; 8; 6)
      Actividad (i, j) Dij Vij Actividad (i, j) Dij Vij
      (0,1) 2 0.11 (3, 5) 3 1.00
      (0,2) 3 1.00 (3, 6) 2 0.11
      (1,3) 2 0.11 (4, 5) 7 0.11
      (2,3) 3 2.78 (4, 6) 5 1.78
      (2,4) 2 1.36 (5, 6) 6 0.44

      a = Tiempo Optimista.

      b = Tiempo Pesimista.

      c = Tiempo más Probable.

      Observando los Sesgos

      Dij = a + b + 4m / 6

      Vij = (b – a / 6)2

      Evento Ruta E{ui} Var{ui} Tpi Ki P{Z<=Ki}
      1 (0, 1) 2 0.11 4 6.03 1.00
      2 (0, 2) 3 1.00 2 -1.00 0.159
      3 (0, 2, 3) 6 3.78 5 -0.514 0.304
      4 (0, 2, 3, 4) 6 3.78 6 0.000 0.500
      5 (0, 2, 3, 4, 5) 13 3.89 17 2.028 0.987
      6 (0, 2, 3, 4, 5, 6) 19 4.33 20 0.480 0.684

      Ki = Tpi – E{Ui} / Ö var{Ui}

      Var{Ui} = S Vk

      P{Ui <= Tpi} = P {Z <= Ki}

      2. CONSIDERACIONES DE COSTO EN PROYECTOS

      Pendiente = Cc – Cn / Dn – Dc

      Dn = Duración Normal

      Cn = Costo Normal

      Actividad
      (i, j)
      Normal Mínimo de Duración Costo
      Demanda Costo
      (1,2) 8 100 6 200
      (1,3) 4 150 2 350
      (2,4) 2 50 1 90
      (2,5) 10 100 5 400
      (3,4) 5 100 1 200
      (4,5) 3 80 1 100

      Actividad
      (i, j)
      Pendiente
      (1,2) 50
      (1,3) 100
      (2,4) 40
      (2,5) 60
      (3,4) 25
      (4,5) 10

      Costo = 580 + (18 – 17)50 = $630

      Tiempo = 17 días

      Costo = 630 + (17 – 16)50 = $680

      Tiempo = 16 días

      V. BIBLIOGRAFIA

      1.     Eppen G.D , Gould F.J, Schmidt C.P. Investigaciòn de operaciones en la Ciencia

      Administrativa

      2.     Hiller, Frederics.Introduccion a la Investigación de Operaciones, Quinta

      Edicion, 1991_MC_Graw_Hill

      3.     Kaufman, Arnold.Metodos y Modelos de Investigacion de operaciones,Quinta

      Edicion, 1984, CECSA

      4.     Levin, Richard I. Kirkpatrick, Charles A. Enfoques Cuantitativos a la

      Administración. Primera Edicion, 1983

      5.     Lumberger David, Programación Lineal y no Lineal. Wesley ED Addison,

      Iberoamericana, 1989, EUA.

      6.     Nagui,Mohammad. Investigación de Operaciones. Interpretación de Modelos y

      Casos. Editorial Limusa, 1996, México

      7.     Prawda , Juan. Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones, volumen 1:

      Modelos Deterministicos, Octava Reimpresión, 1989, Limusa Mexico.

      8.     Taha, Hamdy A., Investigación de Operaciones. Sexta edición 1999, Alfa y Omega S.A. Mexico

      9.  Web Site:

      Ø http://www.elprisma.com

      Ø http://selva.dit.upm.es/  cd/apuntes/tema3/tema3.html

      Ø http://ekeko.rcp.net.pe/rcp/listas/ioper/iosa.html

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